Sabtu, 17 Maret 2012

materi matematika


Bentuk akar
1.    Bilangngan  Real 
Amatilah bilangan  tersebut .dengan menggunakan kalkulator, akan diperoleh nilai  = 1,414213562….apakah  merupakan bilangan rasional?  Coba kamu cari nilai a dan b agar  = , dalam hal ini a dan  b bilangan bulat dan b. Ternyata, tidak adanilai a dan b  yang memenuhi, sehingga bukan bilangan rasional  tapi bilangan irasional. Gabungan antara himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan  irasional merupakan bilangan real.
2.    Pengertiaan Bentuk Akar
Untuk memahami bentuk akar, pelajarilah soal berikut ini.
a)        =  
b)       =  = 3
c)       = = 4
d)      =   = 5
Akar pangkat tersebut  memenuhi definisi ini
v 
            a, bila a
amatilah contoh-contoh berikut ini.
1.      Misalkan, a = 2 (a
Nilai  =2
2.      Misalkan, a = -2 (
Nilai
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional. 
Kita masih ingat cara mencari panjang sisi miring pada sebuah segi tiga siku-siku dengan menggunakan teorema Pythagoras. Lihatlah gambar di bawah ini :

Jika ada segitiga siku-siku dengan panjang sisi a = 1dan b = 2, panjang sisi c dapat di tentukan sebagai berikut :
c = 
c =
c =
Nilai c =  (dibaca : akar kuadrat dari 5) merupakan contoh bilangan irasonal dalam bentuk akar.
Apakah tanda ) padakan sebuah bilangan akan menjamin bahwa blangan itu merupakan bentuk akar ? jawabanya, tentu tidak. Sebab bilangan yang dituliskan dengan tanda akar, tatapi hasilnya merupakan bilangan rasional. Berikut ini contoh bilangan yang di tulis dengan menggunakan tanda akar tapi bukan merupakan akar.
a)       bukan bentuk akar, sebab  = 3 (bilangan rasional)
b)       bukan bentuk akar, sebab  = 0,1 (bilangan rasional)
c)       merupakan bentuk akar.
d)      merupakan bentuk akar.
a.      Bilangan Rasional
Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan kedalam bentuk dengan a, b merupakan anggota bilangan bulat, dan b Contoh : . Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan bulat berpangkat bilangan bulat berlaku juga pada bilangan rasional berpangkat bulat.
Contoh :
Ø 
Ø 

b.      Bilangan Irasional
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan kedalam bentuk  dengan a,b merupakan anggota bilangan bulat, dan b Contoh : ,, . Bentuk bilangan seperti  ,,  disebut bentuk akar.
3.    Menyederhanakan bntuk akar
Sebuah akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan.
Contoh :
 
 
Berdasarkan contoh diatas dapatkah kamu menemukan sifat berikut?
dengan a dan b merupakan bilangan real positif.
Contoh:
 a.
b.
c.
4. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar
a)      Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
Kamu telah mempelajari penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar, misalnya
2x + 3x = 5x                                 ...(1)
5y + 2y = 3y                                 ...(2)
Konsep tersebut berlaku juga untuk bentuk akar, misalnya
2 + 3 = (2 + 3)  5   …(3)
5 …(4)
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar yaitu mempunyai sifat sebagai berikut :
a.       , dengan a,b,c bilangan real dan c
b.       dengan a,b,c bilangan real dan c

Untuk memahami cara menjumlahkan dan memgurangkan bilangan dalam bentuk akar, simaklah contoh berikut ini.
Contoh :
1.      4
2.      7
3.      3
Jawab :
1.      4
2.      7
3.      3  (tidak dapat dijumlahkan karena tidak memenuhi aturan penjumlahan bentuk akar)
Contoh :
1.      3
2.      9
3.      4
4.     
Jawab :
1.      3
2.      9
3.      4 4
4.       5
b)     Perkalian bentuk akar
Ketika menyederhanakan akar, kita telah menggunakan sifat  dengan adan b masing-masing bilangan positif. Sifat ini dapat pula dipakai untuk menentukan hasil kali bilangan dalam bentuk akar. Perhatikanlah contoh berikut ini :
           
Contoh :
1.     
2.     
3.     
4.      5
Jawab :
1.     
2.     
3.     
4.      5
Secara umum perkalian akar ditulis sifat  , dengan a,b.c,d bilangan real a 
Dengan mengunakan sifat distributif, sederhanakanlah perkalian-perkalian berikut ini.
1.      ( )
2.     
3.     
4.     
5.     
6.     
Jawab :
1.      ( ) =  
2.     
3.     
4.     
5.     
6.     

c)      Pembagian Bentuk Akar
Untuk memahami pembagian bentuk akar,amati dan pelajarilah uraian berikut ini.
, dengan a
Contoh :
1.       
2.     
3.     
d)     Menarik Akar Kuadrat
Jika a dan b merupakan`bilangan-bilangan rasional positif, maka bentuk   dan  dapat dituliskan sebagai () dan (. Pengerjaan seperti ini dinamakan menarik akar kuadrat. Untuk lebih memahami pengerjaan dalam menarik akar kuadrat, perhatikanlah perkalian-perkalian berikut ini.
1.        
   = a + 2
   = (a +b) + 2
Bila kedua ruas ditarik akar kuadrat, kemudian dilakukan perpindahan ruas maka diperoleh :
2.        
   = a 2
   = (a +b)  2

Bila kedua ruas ditarik akar kuadrat, kemudian dilakukan perpindahan ruas maka diperoleh :
Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk () atau (.
1.     
2.     
3.     
4.     
Jawab :
1.       =
2.     
3.     
4.     
Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan
a.      Pecahan berbentuk
Bentuk akar  dapat di rasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dengan penyebut pecahan tersebut, dengan bentuk sekawan penyebutnya.
Contoh :
1.     
2.     
3.     
4.     
5.     
b.      Pecahan Berbentuk
Bentuk akar   juga dapat dirasionalkan  dengan cara yang sama. Sekawan penyebut
a)      Cara merasionalkan bentuk akar  
b)      Cara merasionalkan bentuk akar  
Contoh :
1.     
2.     
c.       Pecahan Berbentuk
Pecahan yang berbentuk  dapat di rasionalkan dengan menggunakan manipulasi aljabar yang hampir sama dengan merasionalkan penyebut pecahanyang berbentuk .
a)      Untuk pecahan  pembilang dan penyebut dikalikan dengan  manjadi :
b)      Untuk pecahan  pembilang dan penyebut dikalikan dengan  manjadi :
Contoh :
1.     
2.     
Jawab
1.      =
2.